p² + 7 est-il divisible par 8 ? - Corrigé

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(3\) .

1. Déterminer les restes possibles dans la division de \(p\)  par \(8\) .

2. Démontrer que \(p^2+7\) est divisible par \(8\) .

Solution

1. La division euclidienne de \(p\) par \(8\) s'écrit \(p=8q+r\) avec \(q \in \mathbb{Z}\) et \(0 \leqslant r<8\) .
De plus, si  `r`  est pair, alors on peut écrire  `r=2r'`  avec  \(r' \in \left\lbrace 0;1;2;3 \right\rbrace\) , et on alors  \(p=8q+r=8q+2r'=2(4q+r')\) , donc  \(p\)  est pair, ce qui est impossible car \(p\) est premier supérieur ou égal à \(3\) .
On en déduit que les restes possibles dans la division euclidienne de \(p\) par \(8\) sont \(1\) , \(3\) , \(5\) et \(7\) .

2. On fait un tableau de congruences modulo \(8\) .

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline p \equiv ... \ [8] &1&3&5&7\\ \hline p^2 \equiv ... \ [8] &1&9 \equiv 1&25 \equiv 1&49 \equiv 1\\ \hline p^2+7 \equiv ... \ [8] &7 \equiv 0&7 \equiv 0&7 \equiv 0&7 \equiv 0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc \(p^2+7\) est divisible par \(8\) .